wie die Atome der Arithmetik nehmen Primzahlen seit jeher einen besonderen Platz auf dem Zahlenstrahl ein. Jetzt, Jared Duker Lichtmann, ein 26-jähriger Doktorand an der College of Oxford, hat eine bekannte Vermutung gelöst und eine weitere Facette dessen aufgezeigt, was die Primzahlen so besonders macht – und in gewissem Sinne sogar optimum. “Es gibt Ihnen einen größeren Kontext, um zu sehen, auf welche Weise die Primzahlen einzigartig sind und auf welche Weise sie sich auf das größere Universum von Zahlenmengen beziehen”, sagte er.

Die Vermutung befasst sich mit primitiven Mengen – Folgen, in denen keine Zahl eine andere teilt. Da jede Primzahl nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, ist die Menge aller Primzahlen ein Beispiel für eine primitive Menge. Additionally die Menge aller Zahlen, die genau zwei oder drei oder 100 Primfaktoren haben.

Primitive Mengen wurden in den 1930er Jahren vom Mathematiker Paul Erdős eingeführt. Damals waren sie einfach ein Werkzeug, das es ihm erleichterte, etwas über eine bestimmte Klasse von Zahlen (genannt perfekte Zahlen) mit Wurzeln im antiken Griechenland zu beweisen. Aber sie wurden schnell selbst zu interessanten Objekten, auf die Erdős im Laufe seiner Karriere immer wieder zurückkam.

Das liegt daran, dass sich primitive Mengen, obwohl ihre Definition einfach genug ist, tatsächlich als seltsame Bestien erwiesen haben. Diese Seltsamkeit könnte eingefangen werden, indem man einfach fragt, wie groß eine primitive Menge werden kann. Betrachten Sie die Menge aller ganzen Zahlen bis 1.000. Alle Zahlen von 501 bis 1.000 – die Hälfte der Menge – bilden eine primitive Menge, da keine Zahl durch eine andere teilbar ist. Auf diese Weise könnten primitive Mengen einen großen Teil des Zahlenstrahls ausmachen. Aber andere primitive Mengen, wie die Folge aller Primzahlen, sind unglaublich spärlich. “Es zeigt Ihnen, dass primitive Mengen wirklich eine sehr breite Klasse sind, die schwer direkt in die Hände zu bekommen ist”, sagte Lichtman.

Um interessante Eigenschaften von Mengen zu erfassen, untersuchen Mathematiker verschiedene Größenbegriffe. Anstatt zu zählen, wie viele Zahlen sich in einem Satz befinden, könnten sie beispielsweise Folgendes tun: Für jede Zahl n in der Menge, stecke es in den Ausdruck 1/(n Protokoll n), addieren Sie dann alle Ergebnisse. Die Größe der Menge {2, 3, 55} wird beispielsweise zu 1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55).

Erdős fand heraus, dass für jede primitive Menge, einschließlich unendlicher, diese Summe – die „Erdős-Summe“ – immer endlich ist. Ganz gleich, wie eine primitive Menge aussehen magazine, ihre Erdős-Summe wird immer kleiner oder gleich einer Zahl sein. Und während diese Summe „zumindest auf den ersten Blick völlig fremd und vage aussieht“, sagte Lichtman, kontrolliert sie in gewisser Weise „einen Teil des Chaos primitiver Mengen“, was sie zum richtigen Maßstab macht.

Mit diesem Inventory in der Hand ist eine natürliche nächste Frage, was die maximal mögliche Erdős-Summe sein könnte. Erdős vermutete, dass es diejenige für die Primzahlen sein würde, die etwa 1,64 ergibt. Durch diese Linse bilden die Primzahlen eine Artwork Extrem.

Jared Duker Lichtman nannte das Drawback seinen „ständigen Begleiter in den letzten vier Jahren“.

Foto: Ruoyi Wang/Quanta-Magazin

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